教师作品：画相对关系图解相对运动问题

发表于讨论求助 2022-03-27 10:13:42

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教师作品之教育随笔
编者按
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画相对运动关系图解相对运动问题
——以相对速度关系图为例

◆文/程靖龙
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Drawing a Relative Velocity Vector Graph toSolve Problems of the Relative Movement
   摘要：分析指出了相对运动速度（位移、加速度）关联关系图示方法存在的不足，给出了新的图示方法。图中每条线段的两个端点（称作节点）分别代表两个研究对象，节点跟研究对象之间一一对应，各节点之间的空间关系呈现了各研究对象之间相对速度（相对位移、相对加速度）的关联关系。
关键词：相对速度关系图相对位移关系图相对加速度关系图节点

同一物理情境，选用了不止一个参考系时就会牵涉到相对运动关联关系的分析。相对速度关系图即相对速度关联关系矢量图，可以集中、形象、简洁地呈现出各研究对象之间相对速度的关联关系。借助相对速度关系图，通过几何分析可以求解该类问题。分析相对速度关联关系，就是在图中确定各个节点的位置。
一、相对运动速度关联关系图示方法之现状。
就相对运动，国内的大学物理教材均介绍了速度合成定理，即绝对速度等于牵连速度与相对速度的矢量和。速度矢量方程的图示方法，介绍的是平行四边形定则和三角形定则。
介绍三角形定则时，对牵连速度和相对速度在图中首尾相接的先后次序，各版本《大学物理》普遍持无所谓态度。这样，针对同一物理情景画出的速度三角形，就会有两种不同的几何形态。
以小船渡河模型为例，υ1表示水的流速，即牵连速度，υ2表示船在静水中的航速，即相对速度，υ3表示船相对于大地的速度，即绝对速度，按照两种不同的次序分别得到如图1中甲和乙。
图1
多运动对象问题，各版本教材均没有明确给出作图思路,个别教材介绍了这方面的例题。可是，即便是按“相对速度在前”介绍知识的教材在例题中也“悄然”改用“牵连速度在前”完成作图[1] [2]，图2和图3分别来自这两本教材。
图2      图3
有文献[3]中出现了如图4和图5两幅插图，耐人寻味。

图4          图5
很显然，作者在同一幅图中试图图示两个运动对象之间的一对相对速度时遇到了问题。
笔者查阅了33本大学物理教材，仅找到一例可以参考[4]，如图6。分析可知，作者是按“相对速度在前”完成作图。

图6
二、相对速度关系图的基本画法
对以上小船渡河的情景，选大地为参考系，在Vx—Vy直角坐标系中画出表示水的流速υ1和船的对地航速υ3的有向线段，如图7。

图7
两条有向线段的箭头位置跟“水”和“船”两个研究对象有对应关系，可以在箭头位置分别标注“水”和“船”。大地是画图时选定的参考系，速度为零，故坐标原点位置跟大地对应，可标注“地”。
我们把速度坐标系中跟运动对象有对应关系的点称作节点，则任意两个节点之间的线段就图示了对应的两个运动对象之间的一对相对速度。比如，图7中由节点“水”指向节点“船”的有向线段图示了船对水的速度，由节点“船”指向节点“水”的有向线段图示了水对船的速度。

图1中，甲三角形跟图7中“地”“水”“船”三个节点围成的三角形具有完全相同的几何形态，而乙三角形的三个顶点跟水、船和大地三个运动对象之间找不到对应关系！可见，只有按“牵连速度在前”的要求作图，图中的线段端点跟各运动对象之间才存在确定的对应关系。这正是前面两本教材图示多运动对象问题时不得不放弃“相对速度在前”而改用“牵连速度在前”完成作图的原因。
平行四边形定则无法表现先后次序，线段端点跟运动对象之间的对应关系更是无从谈起，导致了文献3的两幅插图特别是图5因为牵涉到多运动对象而不可避免出现了不协调。
图7中，各运动对象之间相对速度的关联关系由各节点在速度坐标空间中的相对位置图示出来，跟各个运动对象对应的节点的坐标值的绝对值无关，故画相对速度关系图时速度坐标系隐去不画，如图8。
图8
相对速度关系图中每一条线段同时图示了两个运动对象之间的一对相对速度，只有明确指出某条线段的具体含义时才画出相应的箭头。

三、例题
1.通过“雨飘车窗”模型进一步掌握确定节点位置的方法
题：下雨天，汽车以某速度υ迎风沿直线匀速行驶，风速为υ′，雨滴在竖直的车窗玻璃上留下了跟竖直方向成θ角的痕迹如图9。求雨滴对地速度的大小。
图9      图10
解析：分析可知，雨滴相对于空气的速度竖直向下，又由雨滴在车窗上留下的痕迹的方向可确定雨滴相对于车的速度的方向。作有向线段表示车对地的速度υ, 并标注节点“车”“地”，再作有向线段表示风速υ′，即空气对地的速度,标注节点“气”。过节点“气”画竖直线，过节点“车”画跟雨滴在车窗上留下的痕迹的方向平行的直线，交点即为节点“雨”的位置。完成相对速度关系图如图10。
根据几何关系有

雨滴对空气的速度

雨滴对地速度的大小

2.求解两运动直杆交点速度的大小和方向
题：如图11，同一竖直平面内有两根与水平面夹角分别为α=30°、β=45°的足够长直杆甲和乙，交点为P。当两杆分别以水平速度υ1=4m/s和υ2=6m/s在两杆所确定的竖直平面内运动时，求解交点P的速度的大小和方向。
解析：相对于直杆甲，交点P的速度方向在直杆甲所在直线上；相对于直杆乙，交点P的速度方向在直杆乙所在直线上。

图11 图12
参看图12，最终完成相对速度关系图如图13。

图13
图13中，对节点“甲”“乙”“P”围成的三角形，由正弦定理有
代入数值有
      对节点“地”“乙”“P”围成的三角形，由余弦定理有

解得P点的速度大小为

代入数值有

P点速度的方向跟水平线的夹角为图13中γ，对节点“地”“乙”“P”围成的三角形，由正弦定理有

即，

代入数值

所以，即
提示：这种方法对两杆转动的情形也适用。另，在相对速度关系图中量取角度和线段长度(需按比例换算)，就可以对计算结果进行检验。
3. 等量关系涉及相对速度沿某个方向的分量的问题。
题：如图14，两根直杆A和B平行，以一定间距通过端面固定，环M和环N分别套在两杆上，间隙很小，不可伸长的细绳穿过环N分别系在环M和杆B的根部。当细绳与杆A夹角为α时，环N向下运动的速度为υ0，求解环M运动速度的大小。

图14
解析：由细绳不可伸长获得等量关系，即环N远离杆B根部的速度等于环M靠近环N的速度。环N远离杆B根部的速度，就是环N的对地速度，即υ₀。需要强调的是，环M靠近环N的速度,并不是环M相对于环N的速度，而是环M相对于环N的速度在M、N连线方向上的分量。另，环M的对地速度方向在杆A所在直线的方向上，故，在矢量图中节点“M”“地”“N”共线。
根据以上分析，按如下步骤完成作图过程：
（1）画出表示υ₀的有向线段并标注节点“地”“N”，过节点N作平行于环M和环N之间细绳的直线，截取线段QN，使其长度等于图中υ₀的长度；
（2）过点Q作直线NQ的垂线，与节点“N”“地”所在直线相交，交点即为节点“M”，如图15。
（3）标注角度α，并最终完成相对速度关系图如图16。
图15           图16

在图16中，由节点“地”指向节点“M”的有向线段，就表示了环M的速度。
由几何关系可知         ①
                           ②
             又    ③
由①②③可解得环M的速度大小为
反思：图16中，有向线段可被分解成两条有向线段和，即，这一点，恰好跟环M相对于环N的速度产生了两个效果的物理事实相符。有向线段表示了环M靠近环N的速度，有向线段表示了环M绕着环N转动的线速度。
4. 相对速度关联关系的动态分析问题。
题：（2013年高考上海物理卷第20题）图17为在平静海面上，两艘拖船A、B拖着驳船C运动的示意图。A、B的速度分别沿着缆绳CA、CB方向，A、B、C不在一条直线上。由于缆绳不可伸长，因此C的速度在CA、CB方向的投影分别与A、B的速度相等，由此可知C的（    ）

A.速度大小可以介于A、B的速度大小之间图17
B.速度大小一定不小于A、B的速度大小
C.速度方向可能在CA和CB的夹角范围外
D.速度方向一定在CA和CB的夹角范围内

解析：首先画有向线段表示A船和B船的对地速度υA、υB并标注节点“地”“ A”“ B”。
由于缆绳不可伸长，C船相对于A船的速度必垂直于AC之间的缆绳、C船相对于B船的速度必垂直于BC之间的缆绳。完成相对速度关系图如图18。
图18   图19图
题中对υA、υB的大小关系和夹角均没有限定，按υA、υB的夹角为锐角另作一图，保持υB长度不变，令υA长度由很小逐渐增大，节点C即依次出现在五种不同位置如图19。显然，υC的方向不一定在υA、υB的夹角范围内,且υC既可能大于υA和υB，也可能等于υA和υB的其中一个。
另，据图19通过想象可知，υA、υB的夹角为直角或钝角时，节点C的位置只有C3一种可能，此时，υC的方向一定在υA、υB的夹角范围内且一定大于υA和υB。
综上，B、C为正确选项。
四、补充说明
“简单性原理正是理论物理的一个重要方法论原则。”[5]在图中把大地这样的“绝对”参考系跟其它研究对象平权处置，跟物理学独有的统一、和谐、简单的美学追求相吻合。在绝对参考系被无视的情况下图中各节点之间的线段均表示相对速度，图中几何关系呈现出来的正是各相对速度的关联关系。故，把该图称作相对速度关联关系矢量图，简称相对速度关系图。显然，用矢量合成图的眼光审视该图是不合适的。
在相对速度关系图中，用节点表示的研究对象可以是物理情境中的物体、物体上的点或者其他任何确有所指的运动对象。很显然，相对速度关系图并不局限于平面图形，也可以是立体图形或者一维的图线。
《机械原理》介绍有矢量方程图解法[6]。物理学研究事物的一般规律而《机械原理》是专业技术课程，在逻辑上，《机械原理》中介绍的矢量方程图解法理应是相对速度关系图在机械设计工程中的具体应用。可见，在图示相对运动速度关联关系方面作为技术基础学科的物理学滞后了。

参考文献：
[1]陈信义.大学物理教程[M].北京：清华大学出版社，2008.9：5-6.
[2]周雨青.工科基础物理学（上）[M].北京：清华大学出版社，2011.3：11-13.
[3]陈佩莹孟云瑛.雨中行走淋雨问题探讨[J].中学物理教学参考，2013（10）：31.
[4]万仁浚.乔本元.大学物理 [M].北京：北京邮电大学出版社，1995：46.
[5]沈葹.美哉物理[M].上海：上海科学技术出版社，2010.7：1.
[6]杨松华.机械原理[M].北京：北京大学出版社，2011.8：34-39.

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